miércoles, 27 de julio de 2005
Números primos - Parte I (MacTutor)
Por marieta_delx a las 0:36 | TextosLos números primos y sus características fueron inicialmente estudiados extensivamente por los matemáticos de la antigua Grecia.
Los matemáticos de la escuela de Pythagoras (500 A.C. a 300 A.C.) estaban interesados en los números por sus místicas y numerológicas características. Entendían la idea de números primos y estaban interesados en los números perfectos y números amigos.
Un número perfecto es aquel que la suma de sus divisores propios es igual al número, por ejemplo el número 6 tiene como divisores 1, 2 y 3, y 1 + 2 + 3 = 6; 28 tiene como divisores 1, 2, 4, 7 y 14, y 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28.
Un par de números amigos, es un par como 220 y 284 tales que, la suma de los divisores propios de uno suman el otro número y viceversa (los divisores de 220 son 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 y 110 que sumados equivalen a 284; y los divisores de 284 son 1, 2, 4, 71 y 142 que al sumarlos se obtiene 220).
En su momento, los Elementos de Euclides, que apareció sobre el año 300 A.C., varios resultados importantes sobre números primos habían sido probados. En el libro IX de los Elementos, Euclides prueba que hay infinitos números primos. Ésta es una de las primeras pruebas conocidas que utiliza el método de contradicción (o reducción al absurdo) para establecer un resultado. Euclides también da una prueba del Teorema Fundamental de la Aritmética: “Cada número entero se puede escribir como producto de primos de una manera esencialmente única”.
Euclides además demostró que si el número a=2^(n - 1) es primo entonces a·(2^n - 1) es un número perfecto. El matemático Euler (mucho después, en 1747) pudo probar que todos los números perfectos pares son de esta forma. En la actualidad, no se sabe si hay algunos números perfectos impares.
Sobre el año 200 A.C., el griego Eratosthenes ideó un algoritmo para calcular números primos, llamado Criba de Eratosthenes.
Hay entonces un paréntesis largo en la historia de los números primos durante lo que se llamó generalmente las Edades Oscuras.
Los siguientes progresos importantes fueron hechos por Fermat al principio del siglo XVII. Probó una especulación de Albert Girard de que cada número primo de la forma 4n + 1 se puede escribir de una única manera como la suma de dos cuadrados, y fue capaz de demostrar cómo cualquier número se podría escribir como suma de cuatro cuadrados. Ideó un nuevo método de descomponer en factores los números grandes que demostró descomponiendo el número 2027651281 = 44021 x 46061. Probó un resultado qué es conocido como el Pequeño Teorema de Fermat (que debe distinguirse del Último Teorema). Éste afirma que si p es un número primo, entonces para cualquier número entero tenemos a^p = a módulo de p.
Esto prueba la mitad de lo que fue llamado la Hipótesis China que data desde hace 2000 años, que afirma que un número entero n es primo si, y sólo si, el número 2^n - 2 es divisible por n. La otra mitad es falsa, puesto que, por ejemplo, 2^341 - 2 es divisible por 341 aunque 341 = 31 x 11 es compuesto.
El Pequeño Teorema de Fermat es la base para muchos otros resultados en Teoría de los Números y es la base para los métodos de comprobar si los números son primos que siguen siendo usadas en las computadoras electrónicas de hoy en día.
Fermat mantuvo correspondencia con otros matemáticos de su época y en particular con el monje Marin Mersenne. En una de sus cartas a Mersenne él conjeturó que los números 2^n + 1 eran siempre primos si n es una potencia de 2. Había verificado esto para n = 1, 2, 4, 8 y 16 y sabía que si n no era una potencia de 2, el resultado fallaba. Los números de esta forma se llaman los Números de Fermat y no fue hasta más de 100 años después que Euler demostró que el caso siguiente 2^32 + 1 = 4294967297 es divisible por 641, de manera que no es primo.
Los números de la forma 2^n - 1 también causaron atracción porque es fácil demostrar que, a menos que n sea primo, este número debe ser compuesto. Estos números a menudo reciben el nombre de Números de Mersenne M(n) porque fue Mersenne quien los estudió.
No todos los números de la forma 2^n - 1 con n primo son primos. Por ejemplo 2^11 - 1 = 2047 = 23 x 89 es compuesto, aunque esto fue observado más tarde, en 1536.
Durante muchos años los números de esta forma proporcionaron los números primos más largos. El número M(19) fue demostrado que era primo por Cataldi en 1588 y fue el número primo conocido más largo durante 200 años hasta que Euler probó que M(31) era primo. Esto estableció un récord durante otro siglo y cuando Lucas demostró que M(127) (el cual es un número de 39 dígitos) era primo, que tuvo el récord hasta los tiempos de los ordenadores electrónicos.
En 1952, se demostró que los números de Mersenne M(521), M(607), M(1279), M(2203) y M(2281) son primos, y la prueba la realizó Robinson usando uno de los primeros ordenadores a comienzos de la era electrónica.
Antes del año 2003 se habían encontrado un total de 40 números primos de Mersenne. El más grande es M(20996011) que tiene 6320430 dígitos decimales.
El trabajo de Euler tuvo un gran impacto en la Teoría de los Números en general y en los primos en particular. Amplió el Pequeño Teorema de Fermat e introdujo la phi-función de Euler. Como se ha mencionado arriba descompuso en factores el quinto número de Fermat 2^32 + 1, encontró 60 pares de los números amigos referidos arriba, e indicó (pero no podía probar) lo que fue conocido como la Ley de la Reciprocidad Cuadrática.
Fue el primero en realizar esta teoría numérica, que se podría estudiar usando las herramientas del análisis y, de esta forma fundó, la Teoría Analítica de Números. Fue capaz de demostrar que no solamente eran las series armónicas divergentes, sino la serie 1/2+1/3+1/5+1/7+1/11+..., formada por la suma de los recíprocos de los números primos, también es divergente. La suma de n términos de las series Armónicas crece rápidamente como la función log(n), mientras que la última serie diverge más lentamente como log [log(n)]. Esto significa, por ejemplo, que la suma de los recíprocos de todos los números primos que se han enumerado, incluso por los ordenadores de gran alcance, sólo da una suma de unos 4, pero la serie todavía diverge a infinito.
Autores: O'Connor, J.J. y Robertson, E.F.
Traducción: María Torregrosa Alemañ
Link al artículo original (en inglés)
Los matemáticos de la escuela de Pythagoras (500 A.C. a 300 A.C.) estaban interesados en los números por sus místicas y numerológicas características. Entendían la idea de números primos y estaban interesados en los números perfectos y números amigos.
Un número perfecto es aquel que la suma de sus divisores propios es igual al número, por ejemplo el número 6 tiene como divisores 1, 2 y 3, y 1 + 2 + 3 = 6; 28 tiene como divisores 1, 2, 4, 7 y 14, y 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28.
Un par de números amigos, es un par como 220 y 284 tales que, la suma de los divisores propios de uno suman el otro número y viceversa (los divisores de 220 son 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 y 110 que sumados equivalen a 284; y los divisores de 284 son 1, 2, 4, 71 y 142 que al sumarlos se obtiene 220).
En su momento, los Elementos de Euclides, que apareció sobre el año 300 A.C., varios resultados importantes sobre números primos habían sido probados. En el libro IX de los Elementos, Euclides prueba que hay infinitos números primos. Ésta es una de las primeras pruebas conocidas que utiliza el método de contradicción (o reducción al absurdo) para establecer un resultado. Euclides también da una prueba del Teorema Fundamental de la Aritmética: “Cada número entero se puede escribir como producto de primos de una manera esencialmente única”.
Euclides además demostró que si el número a=2^(n - 1) es primo entonces a·(2^n - 1) es un número perfecto. El matemático Euler (mucho después, en 1747) pudo probar que todos los números perfectos pares son de esta forma. En la actualidad, no se sabe si hay algunos números perfectos impares.
Sobre el año 200 A.C., el griego Eratosthenes ideó un algoritmo para calcular números primos, llamado Criba de Eratosthenes.
Hay entonces un paréntesis largo en la historia de los números primos durante lo que se llamó generalmente las Edades Oscuras.
Los siguientes progresos importantes fueron hechos por Fermat al principio del siglo XVII. Probó una especulación de Albert Girard de que cada número primo de la forma 4n + 1 se puede escribir de una única manera como la suma de dos cuadrados, y fue capaz de demostrar cómo cualquier número se podría escribir como suma de cuatro cuadrados. Ideó un nuevo método de descomponer en factores los números grandes que demostró descomponiendo el número 2027651281 = 44021 x 46061. Probó un resultado qué es conocido como el Pequeño Teorema de Fermat (que debe distinguirse del Último Teorema). Éste afirma que si p es un número primo, entonces para cualquier número entero tenemos a^p = a módulo de p.
Esto prueba la mitad de lo que fue llamado la Hipótesis China que data desde hace 2000 años, que afirma que un número entero n es primo si, y sólo si, el número 2^n - 2 es divisible por n. La otra mitad es falsa, puesto que, por ejemplo, 2^341 - 2 es divisible por 341 aunque 341 = 31 x 11 es compuesto.
El Pequeño Teorema de Fermat es la base para muchos otros resultados en Teoría de los Números y es la base para los métodos de comprobar si los números son primos que siguen siendo usadas en las computadoras electrónicas de hoy en día.
Fermat mantuvo correspondencia con otros matemáticos de su época y en particular con el monje Marin Mersenne. En una de sus cartas a Mersenne él conjeturó que los números 2^n + 1 eran siempre primos si n es una potencia de 2. Había verificado esto para n = 1, 2, 4, 8 y 16 y sabía que si n no era una potencia de 2, el resultado fallaba. Los números de esta forma se llaman los Números de Fermat y no fue hasta más de 100 años después que Euler demostró que el caso siguiente 2^32 + 1 = 4294967297 es divisible por 641, de manera que no es primo.
Los números de la forma 2^n - 1 también causaron atracción porque es fácil demostrar que, a menos que n sea primo, este número debe ser compuesto. Estos números a menudo reciben el nombre de Números de Mersenne M(n) porque fue Mersenne quien los estudió.
No todos los números de la forma 2^n - 1 con n primo son primos. Por ejemplo 2^11 - 1 = 2047 = 23 x 89 es compuesto, aunque esto fue observado más tarde, en 1536.
Durante muchos años los números de esta forma proporcionaron los números primos más largos. El número M(19) fue demostrado que era primo por Cataldi en 1588 y fue el número primo conocido más largo durante 200 años hasta que Euler probó que M(31) era primo. Esto estableció un récord durante otro siglo y cuando Lucas demostró que M(127) (el cual es un número de 39 dígitos) era primo, que tuvo el récord hasta los tiempos de los ordenadores electrónicos.
En 1952, se demostró que los números de Mersenne M(521), M(607), M(1279), M(2203) y M(2281) son primos, y la prueba la realizó Robinson usando uno de los primeros ordenadores a comienzos de la era electrónica.
Antes del año 2003 se habían encontrado un total de 40 números primos de Mersenne. El más grande es M(20996011) que tiene 6320430 dígitos decimales.
El trabajo de Euler tuvo un gran impacto en la Teoría de los Números en general y en los primos en particular. Amplió el Pequeño Teorema de Fermat e introdujo la phi-función de Euler. Como se ha mencionado arriba descompuso en factores el quinto número de Fermat 2^32 + 1, encontró 60 pares de los números amigos referidos arriba, e indicó (pero no podía probar) lo que fue conocido como la Ley de la Reciprocidad Cuadrática.
Fue el primero en realizar esta teoría numérica, que se podría estudiar usando las herramientas del análisis y, de esta forma fundó, la Teoría Analítica de Números. Fue capaz de demostrar que no solamente eran las series armónicas divergentes, sino la serie 1/2+1/3+1/5+1/7+1/11+..., formada por la suma de los recíprocos de los números primos, también es divergente. La suma de n términos de las series Armónicas crece rápidamente como la función log(n), mientras que la última serie diverge más lentamente como log [log(n)]. Esto significa, por ejemplo, que la suma de los recíprocos de todos los números primos que se han enumerado, incluso por los ordenadores de gran alcance, sólo da una suma de unos 4, pero la serie todavía diverge a infinito.
Autores: O'Connor, J.J. y Robertson, E.F.
Traducción: María Torregrosa Alemañ
Link al artículo original (en inglés)
Comentarios
- Fecha: miércoles, 27 de julio de 2005
- Hora: 7:21
- Autor: hell_hot
- Fecha: miércoles, 27 de julio de 2005
- Hora: 21:46
- Autor: marieta_delx
- Fecha: sábado, 10 de septiembre de 2005
- Hora: 7:36
- Autor: Invitado
- Fecha: lunes, 23 de marzo de 2009
- Hora: 20:22
- Autor: Invitado
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