Matemáticas y LaTeX 2005

Este problema lo encontré en la sección ‘Juegos Matemáticos’ de la revista Investigación y Ciencia. No era el enunciado principal de dicha sección, ya que se ocupan de una extensión del mismo un poco más sangrienta (véase el número correspondiente al mes de julio del año 1999), sin embargo, me interesó el problema por su forma de plantear la solución, que es original y puede convertirse en una eficaz herramienta de cara a resolver situaciones de un estilo similar.

Cabe señalar que el 100% de las personas que se enfrentaron a este problema, aseguraban, de forma intuitiva al escucharlo por primera vez y sin hacer planteamiento alguno, que el pirata más feroz no sería capaz de ofrecer una propuesta de tal manera que se llevara un botín para si mismo de más de cincuenta monedas. ¿Tendrá razón la intuición?

Comencemos, pues, a esbozar el planteamiento de la solución, que parte de comenzar en la situación final e ir subiendo escalones hasta llegar a la posición inicial (es algo así como ‘resolver el problema por detrás’, dicho en palabras llanas). Supongamos que los ocho piratas más feroces son pasto de los tiburones y solo restan dos de ellos, A y B, siendo B más feroz y, por tanto, sería el siguiente que ofreciera una propuesta de reparto del tesoro.

Nuestro pirata B además de ser feroz es inteligente (cuando se trata de manejar dinero, personalmente opino que todos somos increíblemente sabios, que pena que no sea así en otras circunstancias ...), por lo que, ¿cuál será su propuesta? ¿qué cantidad de dinero ofrecerá al pirata A? Él sabe que votando su propia propuesta ya habrá conseguido el 50% de la cantidad total de los votos, por lo que la elección es clara (aunque poco favorable para el pirata A), la propuesta será: ‘100 monedas para el pirata B y 0 monedas para el pirata A’.

Ahora remontémonos un poco más en el tiempo, hasta que había tres piratas en la proa del barco decidiendo la partición del botín. En este caso, a los dos anteriores se les suma el pirata C, más aguerrido y feroz que ellos. En un primer momento, está tentado de quedarse él con las cien monedas, sin compartir nada con los dos restantes bucaneros. Pero claro, esa propuesta tendría asegurado solo un voto, el suyo propio. ¿Por qué? El pirata B jamás le votará, ya que, en el caso de ser lanzado a los tiburones C, él podría realizar el planteamiento del párrafo anterior y conseguir todo el tesoro. Del pirata A, poco podemos concluir, no tenemos la certeza de que vote a favor o en contra, ya que la ganancia tanto con dos piratas como con tres es idéntica.

Así pues, el pirata C debe pensar alguna manera de conseguir el voto del pirata A, sino quiere ser pasto de los tiburones. La solución es sencilla, ‘sobornemos’ al pirata menos feroz ofreciéndole una moneda. En este caso, tendremos asegurado su voto, ya que, aunque consigue poco, por lo menos la ganancia es mayor que si solo restaran dos piratas (recordemos que en esa ocasión, no tenía beneficio alguno).

A estas alturas, el lector ya debe imaginarse que estamos ante un problema de sobornos. La idea es ofrecer la mínima cantidad posible a las personas adecuadas, para conseguir así sus votos, de manera que consigamos la mayor cantidad posible de monedas y, a la vez, no seamos la merienda de los tiburones.

A continuación se muestran las estrategias óptimas de los piratas, en función del número que de ellos queden en el momento de realizar la propuesta:



Vaya, la intuición no era del todo acertada en esta ocasión. Nuestro inteligente y feroz pirata si que ha sido capaz de conseguir más de la mitad del botín.