Matemáticas y LaTeX 2005

El papiro Rhind fue bautizado con tal nombre tras su descubrimiento en Luxor en 1858 por el egiptólogo escocés A. Henry Rhind. El papiro, un rollo de papel de unos seis metros de longitud y un tercio de metro de anchura, fue redactado alrededor del año 1650 A.C. por el escribano Ahmes, quien afirmó que él simplemente se dedicó a copiar un manuscrito que era doscientos años más antiguo. Es decir, que el papiro original en el cual está basado el de Rhind data, aproximadamente, del año 1850 A.C.

De esta misma fecha, el siglo XIX, data el papiro de Moscú. A día de hoy, resulta más habitual el nombre de papiro Rhind en lugar de pariro de Ahmes, debido a la mayor aceptación que tuvo el nombre de aquel que lo encontró y adquirió recientemente, por encima del de su propio escribano. Del mismo modo, tampoco es posible que el papiro de Moscú reciba el nombre de quien lo redactó, pero, en este caso, las circunstancias son muy distintas, puesto que, el nombre de dicha persona no ha perdurado a lo lardo del tiempo, haciendo que actualmente desconozcamos el auto de tan valioso manuscrito. Pero, al igual que antes, este papiro también es conocido, aunque en menor medida, por papiro Goleneschew en honor a la persona que lo compró y sacó a la luz. El papiro de Moscú se encuentra presente en el Museo de las Finas artes de Moscú, mientras que el papiro Rhind se halla en el Museo Británico de Londres.

El papiro Rhind contiene nada más y nada menos que ochenta y siete problemas mientras que el papiro de Moscú comprende la tampoco nada despreciable cantidad, teniendo en cuenta la fecha de que data, de veinticinco problemas. La mayoría de estas cuestiones son de tipo práctico, pero unas pocas de éstas fueron planteadas para la enseñanza de la manipulación del sistema numérico, es decir, no tenían en mente abarcar ninguna aplicación práctica. Por ejemplo, los primeros seis problemas del papiro Rhind indagan en cómo se pueden dividir n barras de pan entre diez hombres. Estos seis problemas surgen de ir fijando distintos valores para nuestra incógnita n, de este modo tenemos, n = 1 para el problema 1, n = 2 para el problema 2, n = 6 para el problema 3, n = 7 para el problema 4, n = 8 para el problema 5 y n = 9 para el problema 6. Evidentemente, las fracciones se encuentran involucradas de uno u otro modo en estos seis problemas, y, de hecho, ochenta y uno de los ochenta y siete problemas precisan del uso de operaciones con fracciones para su resolución. Rising argumentó que estos problemas de la división las barras de pan resultaron especialmente importantes en el desarrollo de las matemáticas egipcias.

Algunos de estos problemas pregunta por la solución de una ecuación. Por ejemplo, el problema 26: ¿cuál es la cifra que sumada a la cuarta parte de dicha cantidad dé 15? Otros problemas implican series geométricas como puede ser el problema 64: dividir diez hekats (unidad de medida) de cebada entre diez hombres de manera que cada uno reciba un octavo de un hekat más que el anterior. Otros problemas precisan del uso de la geometría, como por ejemplo el problema 50: un campo circular tiene un diámetro de nueve khet (unidad de medida). ¿Cuál es su área?. Cabe mencionar, que el papiro de Moscú también presenta problemas geométricos.

Al contrario que los griegos, quienes razonaban de forma abstracta todos los conceptos matemáticos, los egipcios estaban solamente preocupados con la aritmética a nivel práctico. La mayor parte de los historiadores sostenían la creencia de que los egipcios no consideraban los números como cantidades abstractas, sino que siempre pensaban en colección especifica de ocho objetos cuando se hablaba de la cifra ocho. Para superar las deficiencias de su sistema numérico, los egipcios diseñaron ingeniosos caminos para bordear los problemas que éste presentaba, evitando así el hecho de que sus números fueran poco apropiados para la multiplicación, así como se muestra en el papiro Rhind.

Joseph, junto con otros muchos autores, dieron a conocer varias de las medidas de la Gran Pirámide, las cuales habían sido calculadas por unas personas que mantenían la opinión de que ésta fue construida con ciertas constantes matemáticas que ya tenían en mente. El ángulo entre la base y unas de las caras de la pirámide es de 51° 50’ 35’’. La secante de dicho ángulo es 1.61806, la cual se encuentra notablemente cerca de la proporción áurea 1.618034. No es que nadie crea que los egipcios conocieran la función secante, pero, asombrosamente, este número coincide exactamente con la proporción entre la altura de una de las caras inclinadas de la pirámide y un medio de la longitud de un lado de la base (al cuadrado o cuadrada). Por otro lado, la cotangente del ángulo que ya se había calculado para la pendiente resulta estar muy próximo a pi/4. Una vez más, cabe tener en cuenta que, por supuesto, nadie pretende insinuar que la civilización egipcia inventara la cotangente, pero, nuevamente, esta cifra representa el ratio de las caras, el cual se cree que fue confeccionado para ajustarse de la forma más exacta posible a dicho número. Ahora es el momento de que el observador lector se dé cuenta, al pensar en las proporciones citadas, de que debe de producirse algún tipo de relación entre el número áureo y pi para que estas dos afirmaciones sean matemáticamente correctas. De hecho, existe una coincidencia numérica: la cifra que surge al multiplicar la raíz cuadrada del número áureo por pi se encuentra muy próxima a cuatro, en efecto, este producto da como resultado 3.99618.

Robins sostiene, nuevamente, la creencia de que tanto la proporción áurea como el número pi se encuentran involucrados, de forma deliberada, en la construcción de la pirámide. Afirmó que el ratio de la pendiente vertical con la distancia horizontal fue escogida para que fuera exactamente cinco medios a siete, y el hecho de que (11/14)x4=3.1428 sea tan próximo a pi no es nada más que una simple coincidencia. De forma similar, Robins afirmó que ciertas construcciones eran realizadas a fin de que el triángulo formado por la base, la altura y el nivel de la pendiente de la pirámide constituyesen 3, 4 y 5 triángulos. Sin duda, nos parecerá muy probable que los ingenieros vayan a usar conocimientos matemáticos para construir ángulos rectos, cuya estructuración se realice de manera que sus ratios estén relacionados con el número áureo y con pi.

Finalmente, examinaremos algunos detalles del antiguo calendario egipcio. Como ya habíamos mencionando al comienzo de este artículo, fue de vital importancia para los egipcios conocer cuando el río Nilo iba a anegar las tierras, con lo cual, se hizo necesario registrar ciertos cálculos en un calendario. Al comienzo del año se decidió que coincidiría con la salida heliacal de Sirius (Sirio), la más brillante estrella del cielo. La salida heliacal es la primera aparición de la estrella tras el periodo en el que está demasiado cercana al sol como para ser vista. Para Sirius este suceso tenía lugar en Julio y, por esta razón, ésta fue escogida par ser su estrella del año. Poco después de este acontecimiento, el Nilo inundaba las tierras, de modo que este hecho representaba era un comienzo natural del año. El nacimiento heliacal de Sirius avisaba a los habitantes de Egipto de que se acercaba subida del Nilo, con el fin de que se prepararan para las inundaciones que ello suponía. Se calcula que el año contaba con 365 días y esto era, sin duda, conocido por el año 2776 A.C., de modo, que este valor era empleado para registrar fechas en los calendarios civiles. Posteriormente, la longitud de un año adoptó el valor más exacto de 365 días y un cuarto, de modo que se pasó a trabajar con dicha cifra, pero el calendario civil nunca fue modificado para reflejar este pequeño cambio. De hecho, dos calendarios corrían en paralelo, utilizándose por igual. El único que se usaba con propósitos prácticos como sembrar las cosechas, recogerlas, etc, estaba basado en el mes lunar. Con el tiempo, el año civil fue dividido en doce meses, con cinco días extras al final del año. El calendario egipcio, a pesar de los cambios que sufrió con el transcurso del tiempo, se convirtió en la base para los calendarios julianos y gregorianos.