Matemáticas y LaTeX 2005

Salvando estos tres fantásticos problemas, quizás, los más destacables de la época sean los que Arquímedes desarrolló en su libro ‘The Sandreckoner’. En él aparece por ejemplo el Acertijo del Ganado, también llamado Problema Bovinum, que se enuncia de la siguiente manera:

‘El dios del Sol poseía una manada de ganado que estaba compuesta por toros y vacas, de los cuales la primera parte eran blancos, la segunda eran negros, la tercera moteados y, por último, la cuarta parte eran marrones. Entre los toros, el número de blancos era un medio y un tercio del número de negros más que del de marrones; el número de negros, era un cuarto y un quinto de los moteados superior al de marrones; el número de moteados, un sexto y un séptimo del conjunto de blancos más que de los marrones. Entre las vacas, el número de blancas era la tercera parte y un cuarto del ganado negro total; el número de negras, un cuarto más un quinto de la totalidad del ganado moteado; la cantidad de vacas moteadas era un quinto y un sexto del ganado marrón al completo; las marrones, un sexto más un séptimo del conjunto de ganado blanco. ¿Cómo estaba compuesta de la manada?’

La solución consiste en resolver las ecuaciones simultáneas de Diophantine en las siguientes variables enteras:

W: número de toros blancos.
X: número de toros negros.
Y: número de toros moteados.
Z: número de toros marrones.
w: número de vacas blancas.
x: número de vacas negras.
y: número de vacas moteadas.
z: número de vacas marrones.

A continuación veremos las ecuaciones que se extraen del texto anterior, expresadas en estas variables.

La solución más pequeña hallada en número enteros para este sistema lineal de ecuaciones es:

De manera que el ganado total sería la nada despreciable cantidad de 50389082 toros y vacas.

También se puede plantear una versión más complicada del problema que consiste en añadir dos restricciones. De manera que exigiremos que W + X sea un número cuadrado y que Y + Z sea un número triangular.

El primero en conseguir las soluciones a este problema fue Williams en 1965 obteniendo unos números con 206544 ó 206545 dígitos. Para estos cálculos fueron necesarias siete horas y cuarenta y nueve minutos. Y en los años1980 – 1981, Nelson publicó en cuarenta y siete páginas el contenido de la memoria del ordenador ‘CRAY 1’ con los 206545 dígitos de la solución.

Además de obtenerse la solución más pequeña, fueron encontrados cinco resultados adicionales llegando a superarse la cantidad de un millón de dígitos (Rorres). Y recientemente, Vardi (1998) desarrolló fórmulas explícitas y sencillas que permitían dar solución al Acertijo del Ganado.