viernes, 19 de agosto de 2005
Funciones (solución)
Por hell_hot a las 16:57 | ProblemasLa función debe ser constante. Para probar el resultado haremos uso de un razonamiento por reducción al absurdo. Supongamos que la función no es constante, llegará entonces un momento en el que, para un par de puntos de la recta real x e y, sus imágenes sean distintas.
Sin pérdida de generalidad, supongamos que f(x) < f(y), y sea k = (x + y) / 2. Como la función es continua, por el Teorema del Valor Medio, sabemos que la imagen de dicho punto k existe. Además, como los racionales son densos en los reales, podemos asegurar que entre f(x) y f(k) existe un número racional. De forma equivalente, se puede encontrar un número racional entre f(k) y f(y).
Como entre dos número racionales siempre existe un número irracional llegamos a una contradicción, puesto que la función sólo toma valores racionales. Así pues, se concluye que la función es constante.
Sin pérdida de generalidad, supongamos que f(x) < f(y), y sea k = (x + y) / 2. Como la función es continua, por el Teorema del Valor Medio, sabemos que la imagen de dicho punto k existe. Además, como los racionales son densos en los reales, podemos asegurar que entre f(x) y f(k) existe un número racional. De forma equivalente, se puede encontrar un número racional entre f(k) y f(y).
Como entre dos número racionales siempre existe un número irracional llegamos a una contradicción, puesto que la función sólo toma valores racionales. Así pues, se concluye que la función es constante.
Comentarios
- Fecha: viernes, 19 de agosto de 2005
- Hora: 17:55
- Autor: hell_hot
Quizá sea este de los problemas más complicados que se han publicado hasta el momento (complicado por el hecho de que un estudiante no universitario difícilmente lo hubiese resuelto).
Sin embargo, como todos los problemas, una vez vista la solución y conociendo las herramientas que son necesarias para la resolución, no es tan complicado ¿verdad? :P
- Fecha: viernes, 19 de agosto de 2005
- Hora: 17:56
- Autor: hell_hot
- Fecha: lunes, 30 de marzo de 2009
- Hora: 17:40
- Autor: Invitado
Blog dedicado a las matemáticas, donde se irán publicando noticias y contenidos sobre las mismas. Además, pretende difundir el uso de LaTeX como herramienta a la hora de crear textos científicos.
