Matemáticas y LaTeX 2005

A primera vista los números primos parecen ser distribuidos entre los números enteros de una manera casual. Por ejemplo, en los 100 números inmediatamente antes que el número 10.000.000 hay 9 números primos, mientras que en los 100 números después, hay solamente 2 números primos. Sin embargo, en una escala grande, se distribuyen de manera muy regular. Legendre y Gauss, ambos hicieron los cálculos extensos de la densidad de los números primos. Gauss (quien era un prodigioso calculador) le dijo a su amigo que siempre que tuviera 15 minutos de repuesto, los gastaría en contar los números primos de un 'chiliad' (un rango de 1000 números). A lo largo de su vida se estima que había contado todos los números primos hasta tener cerca de 3 millones. Legendre y Gauss llegaron a la conclusión que por muy grande que fuera n, la densidad de los números primos cerca de n está cerca de 1/log(n). Legendre dio una estimación a la función Pi(n), el número de los números primos menor o igual a n
Pi(n) = n/ (log(n) - 1.08366)
mientras que la estimación de Gauss está en términos de la integral logarítmica
Pi(n) = integral 1/log (t) dt donde el rango de integración es de 2 a n.

Puedes ver la estimación de Legendre y la estimación de Gauss y compararlas.

La declaración de que la densidad de los números primos es 1/log(n) se conoce como el Teorema de los Números Primos.
Las tentativas de probarla continuaron durante el siglo XIX con el progreso notable que fue hecho por Chebyshev y Riemann que podía relacionarse el problema conocido como la Hipótesis de Riemann: un resultado que sigue sin ser demostrado sobre los ceros en el Plano Complejo de la función de Riemann llamada zeta-función. El resultado fue probado eventualmente (usando métodos potentes en Análisis Complejo) por Hadamard y de la Vallée Poussin en 1896.

Todavía hay muchas preguntas abiertas (algunas de ellas desde hace cientos de años) relacionadas con los números primos.
Algunos problemas sin resolver

1.- La Conjetura de los Números Primos Gemelos que dice que hay infinitos pares de números primos que les separan 2 unidades.

2.- La Conjetura de Goldbach (sacada de una carta de C. Goldbach a Euler en 1742) que cada número entero mayor que 2 se pueden escribir como la suma de dos números primos.

3.- ¿Hay infinitos números primos de la forma n2 + 1?
(Dirichlet probó que cada progresión aritmética:
{a + bn | n perteneciente N} con a, b coprimos, contiene infinitos números primos)

4.- ¿Hay siempre un número primo entre n2 y (n + 1)2?
(el hecho de que hay siempre un número primo entre n y 2n se le conoce como Conjetura de Bertrand y fue probado por Chebyshev)

5.- ¿Hay infinitos números primos de Fermat? De hecho, ¿hay números primos de Fermat después del cuarto número primo de Fermat?

6.- ¿Hay una progresión aritmética de números primos consecutivos para una longitud (finita) dada? Por ejemplo 251, 257, 263, 269 tiene longitud 4. El ejemplo más grande conocido tiene longitud 10.

7.- Hay infinitos sistemas de 3 números primos consecutivos en una progresión aritmética. (Verdad si omitimos la palabra consecutiva)

8.- n2 - n + 41 es número primo para n entre 0 y 40. ¿Hay infinitos números primos de esta forma? La misma pregunta se aplica a n2 - 79n + 1601 que es números primo para n entre 0 y 79.

9.- ¿Hay infinitos números primos de la forma n# + 1? (donde n# el producto de todos los números primos menores o iguales que n)

10.- ¿Hay infinitos números primos de la forma n# - 1?

11.- ¿ Hay infinitos números primos de la forma n! + 1?

12.- ¿ Hay infinitos números primos de la forma n! - 1?

13.- Si p es un número primo, ¿2p - 1 es libre de cuadrados? Es decir, no es divisible por el cuadrado de un número primo.

14.- ¿La secuencia de Fibonacci contiene infinitos números primos?

Aquí están los últimos récords de números primos que conocemos.

El número primo conocido más grande (encontrada por los GIMPS [Great Internet Mersenne Prime Search; El Gran Buscador de Números Primos de Mersenne en Internet] en noviembre de 2003) es el cuarentavo número primo de Mersenne: M20996011 que tiene 6320430 dígitos decimales. Puedes verlo en el Anuncio Oficial.

Los números primos gemelos más grandes conocidos son 242206083 x 238880 más menos 1. Tienen 11713 dígitos y fueron anunciados por Indlekofer y Ja'rai en noviembre de 1995.

El número primo factorial más grande conocido (número primo de la forma n! más menos 1) es 3610! - 1. Es un número de 11277 dígitos y fue anunciado por Caldwell en 1993.

El número primo primorial más grande conocido (número rimo de la forma n# más menos 1, donde n# es el producto de todos los números primos menores o iguales que n) es 24029# + 1. Es un número de 10387 dígitos y fue anunciado por Caldwell en 1993.

Autores: J. J. O'Connor y E. F. Robertson
Traducción: María Torregrosa Alemañ
Link al artículo original (en inglés)